學神的文娛開花第0080章歐拉乘積公式

「什麼是黎曼猜想呢？」

「在我發表《黎曼的貓》前，相信很多人都沒法回答這個問題，也有很多人試圖了解這個問題，這也說明了，我的小說還是有點科普價值的。筆硯閣 www.biyange。com 更多好看小說」

「先不談黎曼猜想，我們還是先說說黎曼猜想的背景吧，那麼，她的背景是什麼呢？」

「簡而言之，就是質數的分佈問題，那麼，什麼又是質數呢？」

「質數的分佈規律是什麼？我們能不能寫出質數的通項公式？」

「和質數相關的猜想都有哪些？哥德巴赫猜想和孿生質數猜想，為什麼到現在還只是猜想？」

「我們又是怎麼研究質數分佈的呢？」

幾句開場白之後，田立心便連續提出了幾個問題，隨後又深入淺出地將這些問題一一回答，並不時在黑板上板起書來。

台下的呂教授聽着他娓娓道來，臉色卻已經發白了。

這小子是真有水平的，就憑着這幾分鐘的演講，看着就不比一個高中老師差啊。

他真是一個高中生？

呂教授身旁的老師也是不時點頭，後面的學生們則陷入了思考。

偌大的教室漸漸安靜了下來，只剩下田立心的聲音通過麥克風在迴蕩着。

「接下來我們要講的是歐拉，他是瑞士人，出生於1707年，是最偉大的數學家，這麼說或許會有點爭議，但說他是十八世紀最偉大的數學家，肯定是沒人有異議的，他同時也是數學界公認的四大家之一，與之齊名的分別是阿基米德、牛頓和高斯。」

「歐拉十三歲考入大學，讀的是哲學和法律，到十六歲時就拿到了哲學的碩士學位，二十歲拿到了物理學博士學位，之後，他就將大部分精力放到了數學研究上，帶他入門的老師，正是當時歐洲最偉大的數學家約翰伯努利，而在這一年，牛頓去世了。」

「歐拉是偉大的數學家，更是將數學推至物理領域的第一人。他是史上最多產的數學家，平均每年能寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法等的課本，《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》等都成為數學界中的經典著作。」

「用著作等身來形容歐拉是恰如其分的，他在短短的一生中就寫了八百多本書，從二十歲開始，每年平均差不多寫十五本，而我們用到的與他有關的公式有哪些呢？查一下數學和物理教科書的索引就能找到答案了歐拉角（剛體運動）、歐拉常數（無窮級數）、歐拉方程（流體動力學）、歐拉公式（複合變量）、歐拉多角曲線（微分方程）、歐拉齊性函數定理（摘微分方程）、歐拉變換（無窮級數）、伯努利-歐拉定律（彈性力學）、歐拉—傅里葉公式（三角函數）、歐拉-拉格朗日方程（變分學，力學）以及歐拉-馬克勞林公式（數字法），而這，僅僅只是較為重要的一部分。」

田立心說到這，安靜的教室中響起了竊竊私語。

「歐拉也太牛了吧，十三歲上大學，二十歲獲得博士學位，而這只是他的開始。」

「以前都沒怎麼注意過他，想不到這麼牛。」

「每年八百頁論文，要是都投給sci，編輯們都看不過來啊。」

「八百本書，我一輩子都看不完啊，我還是轉系算了。」

……

田立心將剛才列舉出來的公式擦去，又在黑板上寫了一個公式，正是費馬定理。

「有人能認出這個方程吧？這是十七世紀的數學家費馬寫下的公式，當時還叫費馬猜想，直到三百年後，也就是五年前才由英國的數學家證明出來，這個公式就此成了費馬大定理。為什麼將這個公式寫出來呢？因為這個猜想與數論的形成息息相關，而數學王子高斯也說過，『數學是自然科學之母，而數論是數學之根』，由此可見，數論的難度和在數學中的地位有多高了。而歐拉，是唯一一個在十八世紀對費馬猜想有所突破的數學家，他證明了n=3的情況下，這個猜想是成立的。」

「歐拉是解析數論的奠基人，他提出了歐拉恆等式，也叫歐拉公式，建立了數論和分析之間的聯繫，從此就可以用微積分研究數論了。後來，高斯的學生黎曼，將歐拉恆等式推廣到複數，就此提出了黎曼猜想。」

「歐拉恆等式是數學中最令人着迷的公式之一，它將數學中最重要的幾個常數聯繫到了一起。包括e、π、i和1，還有數學中最常見的0。因此，數學家們評價它是上帝創造的公式，我們只能看而不能理解它。』」

「再回到一開始提出的問題，我們到底是怎麼研究質數分佈的？大家可能想到了，正是偉大的歐拉為我們找到了一個基本工具，也就是著名的歐拉乘積公式。」

1+1/2s+1/3s+…+1/ns+…=[1/(1-1/2s)]x[1/(1-1/3s)]x[1/(1-1/5s)]x…x[1/(1-1/ps)]x…

田立心順手將這個公式寫在黑板上，「為了節約篇幅，我們經常用大寫的希臘字母Σ表示求和，用大寫的希臘字母Π表示連乘。此外，我們初中時就學過指數為負的乘方是什麼意思，a的-b次方等於a的b次方的倒數，即1除以a的b次方。因此，我們也可以將歐拉乘積公式簡寫成下面的式子。」

Σnn-s=Πp(1-p-s)-1。

田立心又將歐拉乘積公式的簡寫方式寫出來，「這個公式是怎麼推導出來的呢？我們來推導一下。」

a=Σnf(n)=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+…

b=Πp[1-f(p)]-1

f(n)=n-s

f()f(n)=-sn-s=(n)-s=f(n)。

f(2)a=f(2)+f(4)+f(6)+f(8)…+f(2n)+…=Σnf(2n)。