學神的文娛開花 第0103章 正式開賽

    次日，八點半，國奧賽正式開始。一筆閣 www.yibige.com

    選手們拿着零食、飲料、參考書、作圖工具等，在規定的時間內紛紛走入考場。

    嗯，比賽是可以帶食物和參考書的，畢竟比賽時間太長了，而這原本就是開卷考試。

    除了不能攜帶電子設備入場，其他的一切都像參加冬令營那樣輕鬆寫意。

    田立心手上卻只拿了作圖工具和一瓶水。

    走入考場後，田立心發現這教室一共有二十五位考生，每位考生的桌面上都插着一面國旗，這些考生基本都來自不同的國家。

    旁邊坐的正是有前些天見過的寶島女生，她也是教室里唯一的女生。

    左前方，是一位阿三選手。

    右前方，是一位俄國選。

    除了旁邊的寶島女生，周圍坐的都是來自各大數學競賽強國的人啊。

    不過，寶島姑娘的桌上雖插着白日青天旗，本質上，也同屬於華夏這個競賽強國嘛。

    時間一到，兩位監考老師就將試卷分發了下來。

    拿到卷子後，旁邊這位女生的臉色就不那麼好看了。

    試卷是翻譯過的，她的卷子上肯定也同為漢字。

    看不懂題，是不能用外語太差來背鍋的。

    對田立心來說，第一道門檻題倒還真是送分題，他只略一思索就有了思路。

    這道題的題目是這樣的，「對全體滿足a，b，c，d，e≥-1，a+b+c+d+e=5的實數，求s=(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)的最大值和最小值。」

    先設a+b=a，b+c=b，c+d=c，d+e=d，e+a=e，s為五個數的乘積。

    討論s的最大值時，abcde這五個數必為五個正數或有偶數個負數奇數個正數，這樣的情況分為三種，即五個是正數，或一個正數四個負數，或三個正數兩個負數。

    求s最小的最小值，則abced中的負數必為奇數個，其分別為五個負數，或三個負數兩個正數，或一個負數四個正數。

    有了這個思路之後，解題步驟可以一蹴而就了。

    解令a+b=a，b+c=b，c+d=c，d+e=d，e+a=e，則abcde均大於-2，a+b+c+d+e=10。

    1，先討論abcde都為正數的情況，由算數幾何平均不等式可知，則s≤（（10/5）5=32。

    a=b=c=d=e=1時取等。

    當abcde中有一個正數四個負數時，設a≈ap;gt;0，bcde四個數都小於0。

    由b+c≈ap;lt;0可知，a≥5，

    又因為e≥-1，所以e≥4。

    與假設矛盾。

    捨去。

    當abcde為三個正數兩個負數時，有相鄰兩個為負數或間隔出現負數這兩種情況。

    兩個負數相鄰時，令a=b=-2。

    則c+d+e=(-1＋d)+(d＋e)+(e＋-1)=14

    即d=d+e=8，而ce≤(c+e)2/4=(d+e-2)2/4=9當且僅當c=e=3時取等號，此時s=22x8x9=288

    兩個負數間隔出現時，令a，c≈ap;lt;0取-2時，a，b，c，d=-1，b=b+c≈ap;lt;0

    與假設矛盾。

    捨去。

    綜上，s  ≤288，當a=b=c=-1，d=e=4時取等。

    2，當abcde都為負數，那麼abcde≈ap;lt;0也成立，與a+b+c+d+e=10矛盾。

    捨去。

    當abcde有三個負數一個正數時，令abc都為負數，則有a，b，c≥-2。

    由此得到d+e≤16，cd的乘積≤64，。

    故有s≥64(-2)(-2)(-2)≥-512，a=b=c=d=-1，e=9時取等。

    當abcde有一個負數四個正數時，令a為負數，取為0≈ap;gt;a≥-2，

    bcde≤（（10-a）/4）4≤81

    那麼，s≥81-2=-162。

    綜上，s≥-512，a=b=c=d=-1，e=9時取等。

    ……

    田立心滿意地看着稿紙上的答案，隨後就抄到了卷子上。

    門檻題的7分，已經是妥妥的了。

    繼續。

    第二道是平面幾何題，「r和s是圓上非直徑端點的兩點，作t使得s為rt中點，j為rs劣弧上任意一點，△jst外接圓和r的切線交於一點a，aj和rs所在圓交於另一點k，求證kt與△jst外接圓相切。」

    田立心在草稿紙上畫出圖來，很快就有了解題思路。

    對華夏的學生來說，平面幾何都是送分題！

    拿下這兩道題，銅牌就已經算是到手了，但這離田立心的最終目標還很遠很遠。

    第三題。

    怎麼還是幾何？

    「一個獵人和一隻隱形的兔子在歐氏平面上玩一個遊戲。已知兔子的起始位置a0與獵人的起始位置b0重合，在遊戲進行n-1回合後，兔子位於點an-1，獵人位於點bn-1。在第n個回合中，以下三件事件依次發生。

    （1）兔子移動到點an，使得an-1與an的距離恰好為1。

    （2）一個定位設備向獵人反饋一個點pn，該設備唯一能保證pn與an之間的距離至多為1。

    (3)獵人移動到點bn，並且滿足bn-1與bn之間的距離恰好為1。

    試問是否無論兔子如何移動，也無論定位設備反饋了哪些點，獵人總能夠適當地選擇它的移動方式，使得經過10的9次方輪遊戲後，獵人與兔子之間的距離不超過100？」

    讀完題，田立心憑直覺就知道答案是不可能了。

    但做數學題不能只憑直覺啊，寫出答案卻沒寫過程的，零分不能再多了。

    這題好像很難啊！

    模擬獵人追擊隱形兔子的物理場景，應該是關鍵性的第一步。

    可以假設獵人和兔子在n個回合之後的距離s，必然存在0≈ap;lt;s≈ap;lt;100。

    首先，第一次追蹤設備報告點p1=a0，那麼不管獵人如何移動，都有可能與兔子移動的方向相反，此時距離s=2。

    由於定位點的對稱性，獵人於n步後到達的點bs+n有可能在直線bsas的下方，也有可能在bsas的上方。

    這道題，還需要考慮循環節n和最大方向偏差角。

    有了解題思路，田立心便開始在稿紙上畫圖了。

    怎麼將自己的想法轉化成數學語言才是關鍵。

    兩個多小時後，田立心終於抬起了頭，暗暗舒了口氣，可算是把這道題解出來了！

    只是，左前方的阿三哥和右前方的俄國選手呢？

    都提前走人了？

    這兩貨這麼強的嗎？

    田立心也知道，有些國家雖不能拿到團隊冠軍，但總還是有一兩個天才選手的。

    算你們厲害好吧！

    田立心將答案謄到卷子上，這才發現，離考試結束還有一個多小時呢。

    他仔細檢查一遍，便站了起來。

    交卷！

    鄰桌的那位寶島女孩，此時還正絞盡腦汁地想着怎麼破解第二道題呢。

    離開考場之後，田立心就在巡邏志願者的護送下，很快就走出了警戒線之外。

    隨後，他一眼就看到了站在不遠處的，正翹首以待的齊教授和副教練。

    他們身邊，已經有一位隊員了。

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