對於地球的數學家來說,被某一個定理弄得精神崩潰,最多是發瘋。在精神病院呆過的數學家,數量僅比在精神病院呆過的文學家少。
而對神州的修士來說,道心被破,就有可能帶來物理性的死亡。
因此,哥德爾不完備定理,對於神州的修士是非常危險的。
即使對於王崎這種上輩子就知曉這一定理,然後這輩子又親自將之推導出的人,都遇到了危險。
但是,王崎知曉,這應該不會是生命危險。
對了以防萬一,他預先就預估出十種可能的狀態,做出十二種預案。
其中,「狀況乙」就是指他現在的狀態。
崩潰確實發生了,很嚴重,一切手段都無法遏制。但是,到了最後的關頭,崩潰就會自動停止,為王崎留出一線生命。
「所有的公理系統都是不完備的」這一觀點,只是一般人對哥德爾不完備定律的誤讀。實際上,人類已知的完備系統是存在的。就比如說歐式幾何,它就可以被公理化為一個完備的系統。另外,王崎在數年之前拋出的哥德爾完備定理【在神州,它叫做『王氏完備律』】,也說明了一切一階邏輯系統的完備性。
崩潰不是無止境的。至少王崎的修法當中,還存在「不完備」也不能懷疑、不能顛覆的東西。
王崎感覺到了自己的狀況。他的命火只剩一線,生命垂危。但是,他手中的筆還沒有停下來。
因為他已經做好的準備、留下後手了。
王崎手上的戒指「數學」,肩膀上的肩甲「離散」依次亮起,然後,賈維斯將一篇新的法訣輸入到王崎體內。
「因為不完備,我們永遠無法證明一個公理系統無矛盾」,這同樣是對哥德爾不完備定理的誤讀。
哥德爾不完備定理否決的,是「在一個系統的內部來證明該系統的一致性」的可能性,這個證明過程說起來複雜。但是其核心思想是運用了所謂的「自指」。
這個陳述陳述了自己。
這個集合包含了自己。
這也是邏輯學當中許多悖論的來源。地球的「理髮師悖論」、神州的「煉丹師悖論」,歸根結底都是「一個集合究竟應不應該包括自身」的疑問所引發的。
而這一條不完備定律,是可以繞過的。
不能在系統之內證明系統的完備性,但是可以從系統之外證明。
我們不能根據系統本身證明這個系統。但是可以通過另一個系統來證明它。
王崎在五六年前就做過相關的理論研究。
正是,布爾巴基學派的思想!
從外部證明!
布爾巴基學派,本就是地球的數學界在被哥德爾不完備定理狠狠洗過之後,重新衍生出來的東西。若是按照神州的分類法,同樣屬於離宗一系。而按照布爾巴基學派理論推演出的修法。也正好能夠支撐因為不完備律而崩散的法力系統。
賈維斯給出的支援,正在重新導正王崎體內崩散的法力。
與此同時,王崎的論文也接近了尾聲。
「結論……由此,我可以證明,對於任意的算學系統,如果其中包含了算術系統的話,那麼這個系統不可能同時滿足完備性和一致性。對於任意的算術系統,如果其中包含了算術系統的話,那麼我們不能在這個系統的內部來證明它的一致性……」
完備性和一致性不可得兼,這個系統要麼自相矛盾。要麼存在着既不能證明也不能證偽的命題!
轟隆!
王崎腦海中如有一道雷光炸響。他感覺到神清氣爽,從來就沒有這麼清醒過。
而另一方面,他的法力系統崩散又重聚,幾乎等於是經歷了一次涅槃。他的修為依舊是結丹初期,但是修法本質卻隱有升華。
啪啪啪啪啪……
空氣當中傳來了一連串脆響,如同裂帛。那是王崎無意識中逸散的法力對周圍的攪擾。
他站了起來,然後又坐下,想了想。重新拿起一張紙,寫了一個附錄,再次聲明哥德爾不完備定律的本質。並附上他這幾年斷斷續續做的,有關於「超限歸納法算術公理化」的論文。
就連他本人,在寫這篇論文的時候,遭遇了修法的大崩潰。若是其他人,又會怎麼樣?
所以,必須得附加一點「保險措施」才行。
哥德爾不完備定率雖然在數學史當中佔據了及其重要的地位,但是證明過程相對來說比較簡單,論文整體很短。以王崎的思維哦速度和手速,整篇論文個把小時就寫完了。
他推門出來。陳由嘉突然撲了過來,揪住他的衣領,呵斥道:「你究竟在搞什麼鬼?」
「寫論文……」
「你差點就死了……」陳由嘉原本淡漠的表情這一刻變得很明顯,憤怒和委屈同時出現在她的眼睛裏。她用法力束縛住眼角溢出的淚水,咬牙切齒道:「你差一點就死了……你差一點就死了!你這是在寫哪門子的論文?」
王崎這才想起,自己光是
「當年,開創縹緲之道的蒲前輩就因為發現了不連續而功力散盡。」王崎拍拍陳由嘉的肩膀:「差不多的道理……」
陳由嘉呼吸一窒,旋即就平穩下來:「是嗎……」她腦袋埋在王崎肩膀上:「這樣啊……」
如果是其他人說,自己將要顛覆現有的學術體系,那麼陳由嘉多半會以為他瘋了,或者本質上不學無術。但不知為什麼,王崎這麼說,她就信了。
很奇怪,王崎過去雖然很輝煌,但是僅限於「天才」的範疇,說他現在就能做出逍遙級數的成果,不太可信。但是,陳由嘉就是信了。
王崎雖然很瘋,但是這件事上卻未曾瘋過。
「喂,師弟。」彌突然出現,對着王崎說道:「師父找你。」
「咦?」王崎有些驚訝。陳由嘉疑惑道:「難道是馮先生找你?是你剛才寫的論文?」
「絕對不是。」王崎還是知道輕重的。在寫論文之前,他就給自己的算器安插了好幾道防火牆,杜絕馮落衣的視線。而且他也用法力行布了周圍,數據化修法也是算器模擬靈識的克星。馮落衣根本就不可能知道這一切。
如果硬要說的話……也許……也許是因為他之前表露出的某些「想法」?
王崎有些疑惑。他迅速用自己的算器戒指完成了論文的淪入,然後將手中的稿紙放進自己的儲物袋,以強橫修為將之封住,確保不會被任何人打開。
陳由嘉就在這兒。讓她看見,真的很危險。
帶着些許壓力與振奮,王崎再一次潛入了萬仙幻境。
馮落衣早就在一處幻境當中等待王崎。這裏還是一個圖書館的模樣。馮落衣和王崎相對而坐。這位老者臉上帶着一絲淡淡的怒容,呵斥道:「王崎……你最近在想什麼?」
「我最近在試圖將算學以平直的語言描述出來。這個過程,由於並不涉及太過複雜的算學道理,所以很適合推廣。」王崎恭恭敬敬的說道:「我準備將之印成書冊,在全天下推廣,傳揚我萬法之道,以期讓天下人都能曉得我萬法門的道理,讓更多的人投身其中。」
科普,也是獲取聲名的一個好途徑。
霍金,就是最好的例子。這也是王崎的計劃之一,只不過是一個長期計劃。
馮落衣接受了王崎的說法,但是冷哼道:「你有這心思,是很好的。但是你不覺得,你要推廣的『道理』裏面,有些實在是太放肆了嗎?」
王崎揣着明白裝糊塗:「老師您說呢?」
「『數字本身就是超越我們思維的自在之物』,『邏輯上我們無法否認一加一等於三的可能性』『沒有人擔心一加一等於三的問題』。」馮落衣瞪着王崎:「你想要說什麼?你的意思,應該不是說,每個人都是依靠超邏輯的感覺,來完成算學的最初積累吧?」
「我只是論證了可能性。」王崎依舊保持低姿態:「實際上,算主還沒有證明集合論的完備性之前,我們都只能說『有可能』。我們確實不能從邏輯層面否認證明『一加一等於三』的可能性。至於另外兩條,我也只是在陳述事實而已。」
馮落衣無奈:「你究竟是什麼時候倒向了算君的連宗?」
「弟子從未偏向過算君的連宗。」王崎恭恭敬敬的說道。或許在「完備性」上,離宗思想一敗塗地,但是,離宗的研究思路和工作方法都是可取的。至少王崎是這麼認為的。
「但是你的想法已經有些危險了。」
王崎恭敬的說道:「因為就弟子看來,現有的邏輯真的不可靠。」
「不可靠?」馮落衣笑了。王崎感覺到,大量帶有攻擊性的數據流用來,幾乎要將他淹沒。
「你倒是說一說,怎麼不可靠?有什麼不可靠?」
「在現有的體系當中,你可找得到它無法解釋的地方?」
王崎道:「只是現有。」
「難道你還能看到現在沒有的嗎?你難道自己創造出了一個新的算學分支,然後證明它不能被公理化嗎?」
「不,老師。」王崎搖搖頭:「我沒有開創一個分支,而是算出了未來。」(未完待續。)
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